昔見つけた円周率の公式

ブログシステムを変えたことで数式が書きやすくなったので、数学的な話を。

円周率に魅入られた偉大な数学者は数多いですが、その例に漏れず中学生〜高校生ごろに円周率にかなりのめり込んでいました。 「πのはなし」や「パソコンで挑む円周率」といった本を何度も読み返していました。

数値自体も無駄に覚えていて、当時は小数点以下300桁くらいまでは暗記していました。 今はだいぶ忘れているので100桁くらいです。

その時にいくつか円周率を求める公式を見つけたので、ここに残しておきます。 既に発見済みのものばかりなので、この記事に数学的価値はありません。

無限級数

ゼータ関数 $\zeta(8)$ の値です。 バーゼル問題の $\frac{\pi^{2}}{6} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$ 、これを4乗にした $\frac{\pi^{4}}{90} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}}$ といった式を見て、「じゃあ8乗にしたらどうなるんだ？」と思って見つけました。

当然これはオイラーが遥か昔に見つけていたわけですが、中学〜高校生時代にここにたどり着いたことを褒めてください。

バーゼル問題の解法はこちら、一般化した $\zeta(2k)$ の値と導出方法についてはこちらを参照あれ。

逆正接関数

$\arctan$ を使った円周率の公式はたくさん発見されていますが、「$\frac{\pi}{4}$ を求める」「項は3つ」「$\arctan$ の中身は整数の逆数（$\frac{1}{n}$ の形）」「$\frac{1}{239}$ で終わらせる」という制約を課して見つけた式です。

なんで $\frac{1}{239}$ を入れたかったかというと、マチンの公式 $\frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}$ を見て、唐突に出てきた $\frac{1}{239}$ になぜかかっこよさを感じたからです。

この式の導出後に文献を色々漁っても同様の式はなかったので新発見かと思っていましたが、数年前にウェブ検索したら誰かが既に発見していたようです。 残念。

別に収束が速いわけでも特別な性質があるわけでもないので、仮に誰にも発見されていなかったとしても数学的価値はありません。

ちなみに、こちらの連鎖探索法や素数探索法を使うと理論的にはいくらでも公式を作り出せるのですが、当時はこんな方法は知らず、ガウスの $\frac{\pi}{4} = 12 \arctan \frac{1}{18} + 8 \arctan \frac{1}{57} - 5 \arctan \frac{1}{239}$ と、ストーマーの $\frac{\pi}{4} = 6 \arctan \frac{1}{8} + 2 \arctan \frac{1}{57} + \arctan \frac{1}{239}$ をコネコネして見つけました。

漸化式

$p_{n+1}$ の式は、「直径1の円に内接する正多角形の一辺の長さから、辺の数を倍にした正多角形の一辺の長さを求める漸化式」です。 $p_{1}$ が「直径1の円に内接する正六角形の一辺の長さ」なので、 $p_{n}$ は正 $3 \times 2^{n}$ 角形の一辺の長さです。

つまり、$n$ を大きくしていくとだんだん円に近づくというアルキメデスがやった方法を式で表しただけ。 要するに紀元前にアルキメデスが見つけていたやつ。

初期値を変えると収束値も変わります。 たとえば $p_{1} = \sqrt{\frac{1}{2}}$ （正方形の一辺の長さ）にすると、 $\lim_{n \to \infty}2^{n}p_{n} = \frac{\pi}{2}$ になります。

この式自体は高校に入ると三角関数の加法定理や半角の公式で導けますが、中学生の頃に三平方の定理で出しました。